动态规划
解题思路
确定 dp 数组以及下标的含义：dp[i][j] 表示在 [0, i] 区间里，交易进行了 j 次，拥有的最大现金数；
- dp[i][0]：未进行任何操作；
- dp[i][1]：只进行过一次买的操作；
- dp[i][2]：只进行了一次买操作、一次卖操作，即完成了一笔交易；
- dp[i][3]：进行第二次买操作；
- dp[i][4]：完成了全部两笔交易；
确定递推公式：
- dp[i][0] = dp[i - 1][0]：未进行任何操作；
- dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])：只进行过一次买的操作；
- dp[i - 1][1]：昨天持有，今天不操作；
- dp[i - 1][0] - prices[i]：昨天没有持有，今天买入；
- dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])：只进行了一次买操作、一次卖操作，即完成了一笔交易；
- dp[i - 1][2]：昨天卖出，今天不操作；
- dp[i - 1][1] + prices[i]：昨天持有，今天卖出
- dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])：进行第二次买操作；
- dp[i - 1][3]：昨天持有，今天不操作；
- dp[i - 1][2] - prices[i]：昨天没有持有，今天买入；
- dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])：完成了全部两笔交易；
- dp[i - 1][4]：昨天卖出，今天不操作；
- dp[i - 1][3] + prices[i]：昨天持有，今天卖出；
如何初始化 dp 数组：
- dp[0][0] = 0：第一天没有操作；
- dp[0][1] = -prices[0]：第一天第一次买入；
- dp[0][2] = 0：当天第一次买入，当天第一次卖出；
- dp[0][3] = -prices[0]：第一天第二次买入；
- dp[0][4] = 0：当天第二次买入，当天第二次卖出；
确定遍历顺序：从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为 dp[i] 依靠 dp[i - 1] 的数值；
举例推导 dp 数组：以 prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4] 为例：
索引 i = 0 索引 i = 1 索引 i = 2 索引 i = 3 索引 i = 4 索引 i = 5 dp[i][0] 规定了今天 不持股 0 0 0 0 0 0 dp[i][1] 规定了今天 持股 -7 -1 -1 -1 -1 -1 dp[i][2] 规定了今天 不持股 0 0 4 4 5 5 dp[i][3] 规定了今天 持股 -7 -1 -1 1 1 1 dp[i][4] 规定了今天 不持股 0 0 4 4 7 7
复杂度
-
时间复杂度：
O(n)； -
空间复杂度：状态压缩之前是
O(n)，状态压缩后是O(1)；
代码实现
JavaScript
JavaScript
// 时间复杂度 O(n) 空间复杂度 O(n)，dp 数组第二维是常数
var maxProfit = function (prices) {
let dp = new Array(prices.length).fill(0).map(it => new Array(5).fill(0));
dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][2] = 0;
dp[0][3] = -prices[0];
dp[0][4] = 0;
for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0];
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
}
return dp[prices.length - 1][4];
}
// 状态压缩
var maxProfit = function (prices) {
let dp = [0, -prices[0], 0, -prices[0], 0];
for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] - prices[i]);
dp[2] = Math.max(dp[2], dp[1] + prices[i]);
dp[3] = Math.max(dp[3], dp[2] - prices[i]);
dp[4] = Math.max(dp[4], dp[3] + prices[i]);
}
return dp[4];
};
参考资料
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