动态规划
在 leetcode🧑💻 123. 买卖股票的最佳时机Ⅲ 的基础上，增加了可以有 k 次交易；
确定 dp 数组以及下标的含义：dp[i][j] 表示在 [0, i] 区间里，交易进行了 j 次，拥有的最大现金数；
- dp[i][0]：未进行任何操作；
- dp[i][1]：第一次买入；
- dp[i][2]：第一次卖出；
- dp[i][3]：第二次买入；
- dp[i][4]：第二次卖出；
- …
- dp[i][2k-1]：第 k 次买入；
- dp[i][2k]：第 k 次卖出；
确定递推公式：
- dp[i][0] = dp[i - 1][0]：未进行任何操作；
- dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])：只进行过一次买的操作；
- dp[i - 1][1]：昨天持有，今天不操作；
- dp[i - 1][0] - prices[i]：昨天没有持有，今天买入；
- dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])：只进行了一次买操作、一次卖操作，即完成了一笔交易；
- dp[i - 1][2]：昨天卖出，今天不操作；
- dp[i - 1][1] + prices[i]：昨天持有，今天卖出
- dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i])：进行第二次买操作；
- dp[i - 1][3]：昨天持有，今天不操作；
- dp[i - 1][2] - prices[i]：昨天没有持有，今天买入；
- dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i])：完成了全部两笔交易；
- dp[i - 1][4]：昨天卖出，今天不操作；
- dp[i - 1][3] + prices[i]：昨天持有，今天卖出；
- …
如何初始化 dp 数组：
- dp[0][0] = 0：第一天没有操作；
- dp[0][1] = -prices[0]：第一天第一次买入；
- dp[0][2] = 0：当天第一次买入，当天第一次卖出；
- dp[0][3] = -prices[0]：第一天第二次买入；
- dp[0][4] = 0：当天第二次买入，当天第二次卖出；
- …
确定遍历顺序：从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为 dp[i] 依靠 dp[i - 1] 的数值；
举例推导 dp 数组：以 prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4]，k = 2 为例：
索引 i = 0 索引 i = 1 索引 i = 2 索引 i = 3 索引 i = 4 索引 i = 5 dp[i][0] 规定了今天 不持股 0 0 0 0 0 0 dp[i][1] 规定了今天 持股 -7 -1 -1 -1 -1 -1 dp[i][2] 规定了今天 不持股 0 0 4 4 5 5 dp[i][3] 规定了今天 持股 -7 -1 -1 1 1 1 dp[i][4] 规定了今天 不持股 0 0 4 4 7 7
复杂度
-
时间复杂度：
O(nk)； -
空间复杂度：状态压缩之前是
O(nk)，状态压缩后是O(k)；
实现代码
JavaScript
JavaScript
// 动态规划
const maxProfit = (k, prices) => {
if (prices == null || prices.length < 2 || k == 0) {
return 0;
}
let dp = new Array(prices.length).fill(0).map(it => new Array(2 * k + 1).fill(0));
for (let j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
dp[0][j] = 0 - prices[0];
}
for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
for (let j = 0; j < 2 * k; j += 2) {
dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[prices.length - 1][2 * k];
};
// 空间优化
var maxProfit = function (k, prices) {
let dp = new Array(2 * k + 1).fill(0);
for (let i = 1; i <= 2 * k; i += 2) {
dp[i] = -prices[0];
}
for (let i = 1; i < prices.length; i++) {
for (let j = 1; j < 2 * k + 1; j++) {
if (j % 2) {
// j 为奇数：买入状态
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] - prices[i]);
} else {
// j为偶数：卖出状态
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - 1] + prices[i]);
}
}
}
return dp[2 * k];
};
参考资料
打赏作者
您的打赏是我前进的动力
微信
支付宝
leetcode🧑💻 123. 买卖股票的最佳时机Ⅲ
上一篇
评论
